ご質問いただいた「証明」に関して、これは全ての企業が入社に求めるわけではないものの、一般的なことですのでご安心ください。

また、退職された方が、前の会社に対して、給料や退職理由などに関する証明を求めた場合、その内容を記載した証明書を交付しなければいけないとされています。ですから、前の会社に申請すれば、すぐに発行していただけるはずです。

なお、請求した項目に対する証明書となりますので、届いた際には、不要な項目が含まれていないかもご確認ください。不要な項目を追加することは禁止されていますので、例えば次の会社に知られたくない情報が記載されていれば、もう一度発行し直していただくと良いと思います。